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James S. Hodges, Bradley P. Carlin, Qiao Fan, On the Precision of the Conditionally Autoregressive Prior in Spatial Models, Biometrics, Volume 59, Issue 2, June 2003, Pages 317–322, https://doi.org/10.1111/1541-0420.00038
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Summary
Bayesian analyses of spatial data often use a conditionally autoregressive (CAR) prior, which can be written as the kernel of an improper density that depends on a precision parameter τ that is typically unknown. To include τ in the Bayesian analysis, the kernel must be multiplied by τk for some k. This article rigorously derives k= (n−I)/2 for the L2 norm CAR prior (also called a Gaussian Markov random field model) and k=n−I for the L1 norm CAR prior, where n is the number of regions and I the number of “islands” (disconnected groups of regions) in the spatial map. Since I= 1 for a spatial structure defining a connected graph, this supports Knorr-Held's (2002, in Highly Structured Stochastic Systems, 260–264) suggestion that k= (n− 1)/2 in the L2 norm case, instead of the more common k=n/2. We illustrate the practical significance of our results using a periodontal example.
Résumé
L'analyse bayésienne de données spatiales utilise souvent une densité a priori conditionnelle autorégressive (CAR) qui peut s'écrire comme le noyau d'une densité impropre qui dépend d'un paramètre de précision τ généralement inconnu. Pour inclure τ dans l'analyse bayésienne, le noyau doit être multiplié par τk pour un k donné. La présente note dérive k=(n-I)/2 pour la densité a priori CAR basée sur la norme L2 (aussi connue sous le nom de champ aléatoire gaussien de Markov) et k=n-I pour la densité a priori CAR basée sur la norme L1, où n est le nombre de régions et I le nombre d'“îles” (groupes de régions non connectés) de la carte spatiale. Comme I=1 pour une structure spatiale définissant un graphe connecté, ceci supporte la suggestion de Knorr-Held (2002) que k=(n-I)/2 pour le cas de la norme L2 au lieu du plus commun k=n/2. Nous illustrons la signification pratique de nos résultats avec un exemple de médecine parodontale.
